Macro-area: Piani di Studio Personalizzati e Unità di Apprendimento
Micro-area: individuare dispositivi transdisciplinari e categorie di riferimento

Lab. di matematica:
IL CANTIERE DEI PROBLEMI

Ideato, per la Formazione Indire D.L. 59 sul sostegno ai processi di innovazione, dalle insegnanti:
M. Cristina Tridenti, Maria Laura Biondini, Anna Maria Fratini, Vitali Novella, D'Elia Daniela, Rossi M.Teresa

 

Molto spesso gli alunni sono abituati a risolvere i problemi in maniera meccanica e passiva: a una stessa domanda corrisponde una stessa operazione (es. quanti in tutto? Addizione …).
Basta formulare in modo diverso la domanda e si evidenziano subito le prime difficoltà.
E' a scuola che i bambini "imparano ad imparare" (Pontecorvo 1985): infatti da una parte apprendono ad usare e controllare strategie che permettono loro di imparare, dall'altra a monitorare la propria consapevolezza ed i propri processi di pensiero.
E' importante cercare nuove strategie che possano coinvolgere maggiormente gli alunni.
Scrivere solo dei numeri con degli operatori per imparare solo la procedura è poco significativo, ma se i numeri vengono inseriti in una storia, ogni numero significa qualcosa che riesce a motivare e coinvolgere il bambino anche dal punto di vista creativo.
Certamente nell'invenzione della storia, oltre alla creatività, che consiste nella scelta del luogo dove avviene la vicenda, nella scelta di un repertorio di situazioni, devono tenere presenti: i concetti matematici, gli algoritmi, gli elementi linguistici, la coerenza e la logica.
Si può andare a caccia di numeri nel paese e scoprire che funzione hanno quei numeri, cosa indicano, che posto occupano in quel contesto e inventare problemi che non siano avulsi dal contesto, oppure giocare con la fantasia e la logica.

Gli obiettivi


- Favorire l'acquisizione della matematica in modo consapevole e significativo;
- Rendere l'alunno protagonista del proprio percorso formativo;
- Sviluppare la creatività e lo sviluppo del pensiero divergente, presentando le occasioni adatte a suscitare fluidità di pensiero, problematizzando la realtà e la ricerca di soluzioni.
- Acquisire una competenza matematica connessa allo sviluppo delle capacità logiche attraverso "l'uso dei problemi".
- Guidare alla comprensione dei concetti matematici usando il linguaggio verbale e il linguaggio simbolico.
- Favorire lo sviluppo del ragionamento logico-matematico attraverso un itinerario che porta dalle operazioni concrete alla capacità di astrazione.
- Contribuire alla formazione del pensiero critico offrendo i mezzi per valutare situazioni, ipotesi.
- Prendere coscienza che esiste un legame molto stretto fra la matematica che si fa in classe e quella che si fa nella realtà extrascolastica (supermercato, pizzeria, cartoleria…).

L'apprendimento


Partendo da esperienze reali vissute, da diagrammi, operazioni, espressioni numeriche il bambino deve saperle problematizzare, formulando correttamente il testo, deve saper ricercare percorsi per le risoluzioni adeguate di un problema per poi saperle tradurre in operazioni, usando i giusti algoritmi, verificare infine la coerenza del risultato.

Gli alunni devono gradualmente essere condotti a riflettere sulla differenza che esiste tra linguaggio parlato (ricco, ambiguo e approssimativo) e il linguaggio matematico (preciso, logicamente corretto e univoco).
Si dovrebbe lavorare sulla conoscenza del significato di tutte le parole che compaiono nel testo, sul tempo dei verbi, che è determinante per la successione delle azioni.

Le competenze:

  • usare il linguaggio matematico dapprima intuitivo e naturale poi più specifico fino a diventare metodo descrittivo, esplicativo
  • usare i diversi codici: verbale, simbolico, figurale, grafico
  • individuare elementi caratterizzanti di un problema, così come elementi di essenzialità di una situazione
  • formulare strategie risolutive di differenti classi di problemi
  • verificare la congruenza tra ipotesi e risultati ottenuti
  • elaborare modelli intuitivi di rappresentazioni simboliche di oggetti e situazioni
 
 
L A VALUTAZIONE DI ABILITA'
criteri utili per valutare l'abilità di risolvere problemi
(da insegnare ad apprendere con il portfolio, M. Comoglio)

Comprensione del problema

  • Comprensione completa del problema
  • Fraintende parti secondarie del problema
  • Fraintende qualche parte del problema
  • Fraintende la parte essenziale del problema
  • Nessun tentativo di comprensione

Piano di soluzione del problema

  • Piano di soluzione corretto senza errori di calcolo
  • Piano di soluzione corretto con qualche errore di calcolo
  • Piano sostanzialmente corretto con errori procedurali
  • Piano sostanzialmente corretto con errori molto significativi
  • Nessun tentativo di esprimere un piano di soluzione

 

 

Risposta al problema

  • Risposta indicata in modo corretto e preciso
  • Risposta indicata in modo corretto
  • Errori di calcolo, risposta parziale a un problema con molteplici risposte
  • Risposta fondata su un piano non adatto o risposta errata
  • Nessuna affermazione di risposta

 
Esempi, proposte
  • Parlare e ragionare infanzia, inizio classe I scuola primaria

1- Marco ha un problema. È senza matita.
Trova la soluzione più rapida al problema di Marco
Disegna la soluzione più efficace

2- Elisa vuole prepararsi un panini con la cioccolata, ma il vasetto è troppo in alto; aiutala a risolvere il problema disegnando almeno due soluzioni

3- Mario regala alcune caramelle a Giovanni.
Di chi si parla?
Chi regala le caramelle
Chi le riceve?
Chi ha meno caramelle di prima?
Chi ha più caramelle di prima?

 

   
Storie e numeri - problemi e fantasia, classe prima scuola primaria

Filastrocca del mare

Giro, giro, girotondo
Su guardiamo che c'è sul fondo.
1 triglia che cammina
Sotto braccio a 1 sardina.
E 2 gamberi piccini
Rossi come indianini;
1 rana pescatrice
che si chiama Berenice
1 sgombro mattacchione
che ha ingoiato un calabrone,
sono insabbiate 3 telline
nel vedere 4 stelline
poi ci sono mille colori,
alghe verdi, tanti fiori
rossi bianchi azzurri e gialli
e l'attinia coi coralli.
E per fare il girotondo
sempre in giro sempre in tondo
1 boga con gli occhioni
ha la lingua a ciondoloni;
gira gira girotondo
quant'è bello il mar profondo
girotondo gira ancora
di dormire non è l'ora.

 

Domande: quali sono i pesci nel mare nominati nella filastrocca? Cosa fa ognuno?
Riscrivi solo i pesci con il numero che indica la quantità e disegnali come li immagini

Chi sono mille? Questo numero va contato con tutti gli altri pesci? Perchè?
Oltre ai pesci cosa si vede in fondo al mare?
Conta tutti i pesci insieme, solo i pesci? Quanti sono?

 

 

Dal manifesto al problema - classe seconda primaria
Un percorso di costruzione di un testo problematico partendo dall'analisi di una locandina


· Saper leggere e decodificare il testo di un manifesto
· Saper individuare i dati utili
· Saper utilizzare correttamente i dati utili per costruire un testo di un problema
· Saper individuare le operazioni necessarie alla soluzione
· Saper eseguire correttamente le operazioni
· Saper rispondere in modo adeguato e corretto alle richieste formulate
· Saper formulare nuove situazioni problematiche analoghe.

L'attività inizialmente può essere svolta a coppie, poi individualmente. Ogni coppia o singolo alunno può in seguito proporre ai compagni il proprio elaborato.

Procedura:

1. Osservazione e lettura del manifesto
2. Presentazione di una serie di domande inerenti il testo osservato
3. Presentazione di dati, utili alla formulazione e soluzione delle domande proposte dall'insegnante
4. Formulazione e soluzione di nuove situazioni problematiche da parte degli alunni

 

Domande
Di cosa si tratta?
A chi è rivolto l'annuncio?
Il manifesto vuole solo informare o anche invitare?
La mostra è aperta tutti i giorni?
Dove si svolge?
In quale periodo?
Quante mostre sono state fatte fino ad ora?
Quando apre e quando chiude la mostra?
Quanti giorni dura la mostra?
Quante ore al giorno rimane aperta? Quante al mattino, quante la sera?
Prova a inventare con i tuoi amici un problema con i numeri che hai a disposizione

Cerca nel tuo paese manifesti simili e prova a costruire con i dati numerici che essi contengono altri problemi.

 

Il problema dal menù di un ristorante classe quarta scuola primaria

Rispondi alle domande:

Quanto costa il menù a prezzo fisso?
Se si scelgono un primo piatto e un secondo piatto senza dessert, quanto si spende?
E' più conveniente scegliere un menù a prezzo fisso o prendere un primo piatto e un secondo piatto senza dessert? Calcola quanto si spende ordinando un primo piatto, un secondo piatto e un dessert del menù del giorno.

 

 

Aiuta il commissario Jhon a smascherare il colpevole - Classe V scuola primaria

Un furto è avvenuto alle ore 17,30. ho qui le deposizioni dei tre indiziati. Uno di loro ha mentito

- Sam: Mi sono alzato alle ore 7,30, in 10 minuti mi sono vestito e in mezz'ora ho fatto colazione. In 20 minuti sono arrivato al lavoro dove sono rimasto 4 ore; ho fatto una pausa di 1 ora e 30, quindi ho lavorato per altre 4 ore e 30. In 20 minuti sono ritornato a casa dove ho trascorso la serata con la mia famiglia.


- Tom: mi sono alzato alle ore 7,00; in 45 minuti mi sono vestito e ho fatto colazione. Dopo mezz'ora ero al lavoro dove sono rimasto per 4 ore e 15 minuti. Ho fatto una pausa di 2 ore, quindi ho ripreso a lavorare per altre 4 ore. Dopo mezz'ora ero di nuovo a casa dove ho trascorso la serata con gli amici.

- Jerry: Mi sono alzato alle ore 7.15 minuti; dopo tre quarti d'ora ero già al lavoro. Ho lavorato per 4 ore, quindi ho fatto una pausa di 1 ora e ho ripreso a lavorare per altre 4 ore. A questo punto, poiché erano già le 18.00, sono ritornato a casa in mezz'ora, e lì sono rimasto con i miei familiari.

 
 

 

Un metodo utile per risolvere problemi è la rappresentazione grafica della situazione
Problemi da rappresentare.


Un bambino, incominciando da un certo punto, posa sul pavimento 4 figurine allineate alla distanza di due passi una dall'altra: Volendo raccoglierle e riportarle una alla volta accanto alla prima partendo dal punto in cui si trova essa, quanti passi dovrà percorrere?

Il problema viene riportato all'azione e quindi l'azione viene rappresentata:

L'alunno dopo aver rappresentato il percorso può rendersi conto dei passi necessari per riportare tutte le figurine a posto.
Problema analogo in cui è utile usare la rappresentazione:
Una lumaca deve salire su un muricciolo alto 7 file di mattoni, ogni giorno percorre tre file di mattoni in salita, ma di notte ne percorre 3 in discesa. Se inizia la scalata di mattina quanti giorni impiegherà per arrivare in cima al muro?
 

 
 

Il problema, la fantasia, la logica

In due stanze vicine sono state chiuse una principessa e una strega. Una in ogni stanza. Un principe vuole liberare la principessa, ma può aprire solo la porta di una stanza, se apre la porta sbagliata non ha più nessuna possibilità di liberare la principessa.
Sulle porte sono appesi i seguenti cartelli.

 
Se tutte e due le affermazioni sono vere, il principe può riuscire a capire dove si trova la principessa? Come?
Se tutte e due le affermazioni sono false, il principe può individuare la stanza dove è chiusa la principessa? Come?
E se una delle due affermazioni è vera e l'altra è falsa? Ma è possibile che una delle due affermazioni sia vera e l'altra falsa? Perché?

 

 
 
Il problema e il contesto:
A scuola durante la momentanea assenza dell'insegnante gli alunni Anna, Bice, Dario, Claudia fanno ognuno un disegno alla lavagna con un gesso colorato; sono disponibili gessi rossi, bianchi, verdi, gialli. Quando l'insegnante rientra vede alla lavagna una casetta, un albero, un automobile e una caricatura.
Può riuscire a scoprire chi ha disegnato questa se gli vengono forniti questi dati:
Anna ha adoperato il gesso rosso, Bice non ha usato il verde e non ha disegnato l'albero, Dario non ha usato il bianco e non ha disegnato né l'automobile, né la casetta, l'automobile non è stata disegnata né col bianco né col rosso, l'albero è stato disegnato col bianco
Come deve ragionare?
 

 

Risolvere problemi pratici


1- Si devono pesare 7 kg di zucchero nel più breve tempo possibile, cioè facendo poche pesate. Si dispone di una bilancia a due piatti senza pesi, di un pacchetto di zucchero da un Kg, di un sacco pieno di zucchero e di molti sacchetti vuoti di varie misure. Come si può fare?
La situazione può essere simulata in classe con materiali vari

Procedura: gli alunni all'inizio non hanno difficoltà a capire che devono usare il sacchetto da un chilogrammo come unità di peso, ma non riescono ad intuire dopo la prima pesata che il pesato può essere usato a sua volta come peso per ridurre i tempi e le pesate e che quindi la seconda pesata si può fare di due chili e così via per le successive usando lo stesso procedimento.

Per far intuire la strategia si può suggerire senza dire altro di scrivere nel primo sacchetto da un chilogrammo dato e nel primo pesato ben evidente il peso…vedendo le due scritte uguali ben evidenti arriva ad intuire che il sacchetto non è solo il pesato ma può fare la funzione di peso.


2- Un automobilista rimasto senza carburante, vuol far trainare la sua automobile da un camion. Non ha però una corda sufficientemente lunga, ha tra cerchi di canapo (corda molto grossa) e li vorrebbe congiungere senza spezzarli in modo da formare una corda sufficientemente lunga. Come può fare, per averla lunga il più possibile e senza pericolo che si sciolga?


3- Ad un bambino è caduta una moneta in un pozzo profondo 5 metri: egli ha ha disposizione una scala lunga 2 metri, due bacchette molto esili lunghe due metri ciascuna, una cordicella lunga 2 metri, una calamita e un coltellino. Come può fare a recuperare la moneta?

4- Questa è la vecchia storia di un contadino, un lupo, una pecora e un cavolo che devono attraversare un fiume con una barca che può portare, insieme al contadino, solo una delle cose dette. Però la pecora non può essere lasciata sola col lupo perché altrimenti sarebbe mangiata e così il cavolo non può essere lasciato solo con la pecora altrimenti la pecora lo mangerebbe. Come può il contadino attraversare il fiume salvando lupo, pecora e cavolo?


 
 
Ci sono 6 bicchieri; tre sono pieni d'acqua e tre sono vuoti. Sono così disposti.
Con una sola azione fai in modo che i bicchieri siano alternati: 1 pieno-1vuoto
Domande: quanti sono i bicchieri? Quanti i pieni? Quanti i vuoti? Qual'è il ritmo? Come deve cambiare il ritmo? Prova ad ottenere il cambio del ritmo: 1 pieno-1vuoto con una sola azione
 
 

 
 
Capovolgi la situazione con soli tre spostamenti
 
 

 
Leggere le etichette (classi IV e V)
Esempio

Diventate consumatori attenti e intelligenti: imparate a leggere le etichette
Per iniziare prendete tavolette di cioccolato di diverso tipo e analizzate le etichette confrontandole con i valori standard